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數學算出人與人的連結
數學
2021-05-01 休士頓－愛德華斯（Kelsey Houston-Edwards）
滲流理論闡明許多網絡的連通現象，從手機通訊到病毒擴散都適用，這次全球大流行凸顯了人際網絡連結的重要性。
當你寫完簡訊按「送出」後，很容易以為簡訊是從你的手機直接傳送到朋友的手機。但其實你的簡訊通常透過手機網路或網際網路（Internet）繞一大段路，這兩類網絡都依賴集中式基礎設施，可能因自然災害而損毀或受專制政府阻斷網際網路。由於擔心國家的監控或干預，精通科技的香港抗議者便迴避使用網際網路，改用FireChat和Bridgefy這類應用程式，直接把訊息發送到鄰近的手機上。
這些應用程式讓訊息從手機無聲無息地跳到另一支手機，把發件人和收件人（唯一能檢視這則訊息的使用者）連結起來。這種手機連結的組織型態通常稱為網狀網路（mesh network）或移動式特定網路（mobile ad hoc network），展現一種既靈活又去中心化的通訊模式。不過無論如何，任兩支手機若要彼此通訊，還是必須透過其他手機的串接才能連結。因此問題便是，分散在香港各地所連結起來的同一網狀網路，必須要透過多少人串接，才足以能建立橫跨城市的通訊？
數學一門稱為「滲流理論」（percolation theory）的分支提供了令人驚訝的答案：只要區區幾個人就能讓情況大異其趣。剛開始，隨著用戶加入新網絡，孤立的手機連結區塊會逐漸成形。至於由西至東、跨越南北的全面通訊，則會在用戶密度超過特定的臨界值時突然浮現。科學家把這種網絡連結程度的劇烈變化稱為「相變」（phase transition），與用於解釋冰融化、水沸騰這類物質狀態突然轉變的物理概念類似。
滲流理論探究在這類網絡中隨機建立或移除連結的後果，數學家把這種網絡設想成一堆「節點」（node，以點表示）的組合，並以「邊」（edge，以線表示）連接。每個節點表示某種對象，例如手機或人，每條邊則是兩節點之間的特定關係。滲流理論出現於1950年代，基本洞見認為隨著網絡連結的數量增加，節點彼此連通的整體群簇（cluster）將會遽然突現（emergent）。
科學家試圖回答的問題是「何時發生？」，對於任意給定的網絡，相當於0℃冰融化或者100℃水沸騰的那個臨界時刻是什麼？什麼時候迷因（meme）會爆紅？產品何時會壟斷市場？地震何時會發生？手機網絡何時會全面連通？疾病何時會大流行？滲流理論為所有這些相變提供了洞見。
數學家研究的典型對象是理想化的網絡：具備幾何對稱性且範圍無限，如此一來才比較能進行理論計算，而通常唯有在無止盡網絡上才存在真正劇烈的相變。即使現實世界的網絡範圍有限，而且通常很紊亂，需要運用計算策略來克服難題，但是現實網絡也有相變，只是沒這麼劇烈。由於我們的世界透過各種複雜層級的連結變得益發緊密：交通運輸了人群、電網提供了能源、社群媒體聯繫了個人、社交網絡散播了疾病，因此關於滲流理論的研究反而變得更加切身。
網絡連通
1957年，英國數學家布羅德本（Simon Ralph Broad-bent）和漢默斯里（John Michael Hammersley）把化學的滲流研究抽象化，首次把滲流理論架構成一個純數學問題。化學家研究石油流滲多孔岩層或水滲入咖啡粉等流體滲透材料的過程，而岩層的滲流網絡由岩層結構中的小孔（節點），以及容許流體在其間流動的槽道或裂縫（邊）所組成。顯而易見的是，石油在碎裂程度大的岩層中可以滲流得更遠。布羅德本和漢默斯里運用滲流理論預測，在理想的岩層裡，一旦裂縫密度超過特定臨界值，石油會從只流經小區域，突然轉變為滲透幾乎整個岩層。
地質學家運用滲流理論的某個版本，研究斷裂岩層中裂隙群簇的大小，這項研究與採用液壓破裂法開採石油或地震的發生都有關聯。地震學家為了替地震建模，建立了與實際觀測的裂隙規模和密度相吻合的滲流網絡，並調整裂隙連結的機率來解釋應力。隨著應力和連結的增加，裂隙群簇會擴大，直到不可預測的地震突然間爆發。有些建模滲流過程的調整版本，容許裂隙的黏合與再次碎裂，則可用於模擬餘震或長期變化。
滲流理論也能闡明規模小得多的物理化學過程，例如聚合（polymerization）：所謂單體（monomer）的簡單小分子結合在一起，形成了聚合物（polymer）的群簇。在滲流理論的架構裡，單體就是節點，鄰近單體可能會自發形成的鍵結就是「邊」。如果單體彼此連結的可能性增加，系統最終會達到滲流臨界值，於是連接的巨大聚合物就會突現，這就是粉狀明膠（俗稱吉利丁）溶於水，最終形成「果凍」的機制。
斷裂岩層或聚合物連結的網絡極其複雜，想要精確描述結構是幾乎不可能。但是布羅德本和漢默斯里說明，可以透過容易分析的重複模式來逼近預測結果，其中最簡單的例子是正方格（lattice），它看起來就像無止盡的格紙，其中格點就是節點，並以四條邊連結鄰點。
要理解流體如何在這個格網中流動，想像格紙上的每條細邊是一條或開或關的水管，可以擲硬幣決定水管的開關狀態，擲出正面就「打開」，擲出反面就「關閉」。這樣的管道開關系統便是一個隨機網絡，而且會出現一些連通群簇，其中的所有節點可透過一連串的連通水管彼此連接。如果把水倒入群簇中的任一節點，便可透過連通的水管流到群簇的其他節點。
滲流理論關心的是網絡的連通性，相對應的便是連通群簇有多大？但是「大」是一個模糊的概念，不容易以數學的形式語言處理，所以數學家經常用「無限」來取代「大數」。於是核心問題變成是否存在無限大的群簇？德國柏林維爾斯特拉斯應用分析和隨機性研究所的數學家賈奈爾（Benedikt Jahnel）說：「對我們來說，比起回答不同大小的網絡中能看到多少個大型群簇，回答是否有無限大的群簇要容易得多。」
事實上，無限網絡具有無限群簇的機率總是0或1。這是因為滲流過程受制於稱為0-1律（zero-one law）的機率論一般原理，由俄羅斯數學家科莫格洛夫（Andrey Kolmogorov）在1930年代發現的。假設擲硬幣無數次，0-1律適用於某一類問題──只要答案與有限次拋擲結果是無關的，例如「是否會出現無窮次正面？」的答案不會因更動有限次的拋擲結果而改變，但「是否第三次會擲出正面？」的答案卻可能只因為更動一次拋擲結果就會不同。
0-1律告訴我們，有限的變化不能干擾本質是無限的現象。所以在無限網絡中，找到無限群簇的機率不會有微小的改變，例如從0.81變成0.82，它的機率必須是很極端的0或1。換句話說，一個無限網絡要嘛沒有無限群簇（找到無限群簇的機率為0），不然就有無限群簇（機率為1）。
因此，把有限的連通水管關閉或者打開，對是否存在無限連通群簇的答案沒有任何影響。找到無限群簇的機率要嘛是0，要嘛是1。問題在於，究竟是哪一個......
