「零」的反思與「零」撞擊黑鷹直昇機了嗎

許綠芽/許全義
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零像魚雷一樣撞擊Yorktown巡洋艦

1997年九月二十一日,價值數千億美金的巡洋艦在巡弋維吉尼亞海岸時,同然動彈不得,完全停擺。此艦艇設計來挺住魚雷、砲彈轟炸的,卻沒想到避開零的轟炸。Yorktown號的引擎電腦,進行軟體更新。很不幸的,工程師們沒有人注意到零作為定時炸彈的影響。零就潛藏在電腦程式中。潛藏、埋伏著,等到軟體程式喚醒它,掐死了整艘艦艇Yorktown。當整個軟體系統試圖除以零時,八萬匹馬力的艦艇停擺,等著被拖吊回港口進行大修。

除了零之外,沒有其他數字能造成這麼大的損害。零威力無窮,它是無限大的雙生子。人總是與零或無限大搏鬥。

一、零與無限大的孿生關係

零與無線大總是看起來不可思議的類似。零乘以任何東西,都會得到零。任何數字乘以無限大,也是會得到無限大。任何數字除以零,會得到無限大。同樣的,任何數字除以無限大也會得到零。此孿生關係或許不只是表面看起來如此,甚至於在理解上也是如此。也就是說,我們掌握零與無限大的特質,無法單獨為之。只認識零,或只認識無限大。

如希臘數學不承認零,沒有零感,當認知擴及無限大時,也就可能發生問題。

希臘數學源於埃及。埃及人發明了幾何學,來計算土地多寡與城市控制。對希臘人而言,數學不只是幾何學,還是哲學。哲學推論不只會僅限於實際運用,還會擴及無限。如假設圓是某種無限多邊形,來推論圓周率約略多少。又如假設用有沒有頭髮來判准一個人是否是禿子。只要有一根頭髮就不是禿子,也就是減一,就足以造成性質上的重大差異。那如果一個人有一百根頭髮呢? 少掉一根,真有那麼嚴重嗎? 又如果那個人有無限多根頭髮呢? 少掉一根,那依舊是無限大啊! 所以減一並不會造成性質上的重大差異。這也意味著,這世界上根本不存在禿子這種東西。

不過,或許由於零很難用幾何圖形表示。希臘數學認為整個宇宙由比例與幾何統治,可擁抱無限大,卻無法接受零,因為零與希臘數字幾何系統相違背。此排斥也讓希臘數學付出相當的代價,如Zeno的悖論。

Zeno認為宇宙中萬事萬物都不可能運動。此陳述表面上顯得很愚蠢。因為每個人都可以在室內走來走去,運動。然而希臘哲學家要反駁Zeno的論證卻顯得困難重重。

(圖片翻攝自Seife , Charles. Zero)

Zeno提出有名的阿基里斯難題。阿基里斯是世界上最會跑的人。如果有一隻世界上移動最慢的烏龜,在他前面的話。兩者賽跑。阿基里斯將永遠無法超越烏龜。假設阿基里斯跑步速度是烏龜的兩倍。阿基里斯跑了一段時間後,抵達烏龜的起始點。可是烏龜在這段時間也跑動,抵達另一個點。雖然此時,阿基里斯拉近了與烏龜之間的距離,可是還是有原先的二分之一的距離。當下個時間點,阿基里斯跑到烏龜的第二個起始點。烏龜也跑到第三個起始點了。烏龜依舊會保持原先四分之一的領先距離。如此,不斷運作,不管阿基里斯多麼接近烏龜。烏龜還是會持續往前進,保持領先。彼此距離愈來愈小。可是總是有距離。烏龜總是會領先。

每個人都知道,現實世界中,阿基里斯會很快超越烏龜,可是Zeno的論證告訴我們當時的數學並無法證明。當時的哲學家也無法反駁此難題。雖然他們知道Zeno論證結論是錯的,可是他們無法找到Zeno數學論證的錯誤在哪裡。哲學家的主要武器是邏輯。可是當時的邏輯演繹在阿基里斯難題之前,似乎無能為力。論證中的每一步驟似乎都是正確的。如果所有步驟都正確,那麼結論怎麼可能是錯的呢?

希臘哲學在此跌倒了,不過他們在此或多或少認識了無限大。在此難題中,Zeno將運動區分成無限大的步驟。因為有無限大的步驟,希臘人就認為比賽可以持續永遠地進行下去,雖然每一步驟都變得愈來愈小。他們認為:在有限時間內,這比賽也就無法結束。

希臘數學沒有零,也就無法解決有關無限的難題。

今天,我們的數學會將阿基里斯難題化成一個無限數列的總和多少的問題:

S=1+1/2+1/4+1/8+1/16……….我們相信此數列最後項會收斂到零。此數列有極限( limits )。希臘數學家排斥零,沒有極限的概念,也就無法解開此難題。Zeno本身也無法解開。他甚至連想都不想解開。因為他屬於依里亞德學派,相信Parmenides的哲學主張,萬事萬物恆常不動。我們所感受到的運動,只是無法禁得起數學證明的幻象。

二、無限多的零加起來是零嗎?

無限多個數字加起來,會有點令人不安:一開始看起來差不多的數列,到最後會產生天淵之別。

零與極限的概念非常難解。Zeno難題數列 1+1/2+1/4+1/8+1/16………,要過了千百年,一直到十四世紀,才不列顛數學家Richard Suiseth算出來,如圖所示,最終加起來的數字會收斂到二。

(圖片翻攝自Seife , Charles. Zero)

同時有個法國數學家Nicholas Oresme試圖破解1/2+1/3+1/4+1/5+1/6……..。他證明此數列最終會發散,而成為無限大。因為可將此數列改寫為1/2+(1/3+1/4)+ (1/5+1/6+1/7+1/8) …(1/3+1/4)會大於(1/4+1/4),或1/2。(1/5+1/6+1/7+1/8)會大於(1/8+1/8+1/8+1/8),也就是1/2。同理,不斷計算下去,我們會不斷為此無限數列加上1/2,加上1/2,再加上1/2…。換言之,此無限數列會比無限多個1/2所組成的數列還大, 會趨向無限大。

任何數字加零,所得到的還是那個數字。任何數字加無限大,所得到的是無可動搖的無限大。那無限個零加起來呢? 結果同樣令人不安,因為不是簡單的零。

譬如說,1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…….這數列我們可改寫為(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)…,也就是0+0+0+0+0…。如此數列總和就是零了。但是我們也可把數列改成1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)……..那也就是1+0+0+0+0…….數列總和就成為1了。

同理,我們也可用7,來替換1。將無限個零,替換成無限個1與-1的總和,改成替換成無限個7與-7總和。如此數列答案就可能是零,或7了。同理,我們可以替換成任何數字來進行此運算。那麼無限多個零加起來,也就可以成為任何數字了,1, 7, 153,有理數,無理數,虛數或是其他人類還沒想像到的數字型態。

零超出人的想像之外,沒有明智運用的話,還可能讓邱吉爾變成一顆胡蘿蔔。

三、邱吉爾是胡蘿蔔?

零所造成的悲劇,莫大於USS Yorktown巡洋艦被撞到般,忘記考慮被除以零的運算。除以零,讓邱吉爾成為動物、植物或是一根紅蘿蔔。

假設a,b,都等於1。因為a,b等值:

b*2=ab (eq.1 )

又a*2=a*2 (eq.2)

二式減一式,我們就可以得到

a*2-b*2=a*2-ab (eq.3)

對其因式分解,我們可得到

(a+b)(a-b)=a(a-b) (eq.4)

一切看起來很正常。我們再將四式,左右兩邊同除以(a-b),然後就得到

a+b=a (eq.5)

b=0 (eq.6)

可是,我們前面就已經假定b=1了。如此我們似乎就可以證明

1=0 (eq.7)

此式所引涉的意義重大。如我們說邱吉爾有一顆頭。一等於零。那也就是說邱吉爾沒有頭。

我們將七式左右兩邊同乘以2,又可以得到

2=0 (eq.8 )

又如果說邱吉爾有兩隻腳。依據式八,也就是說邱吉爾沒有腳。邱吉爾有兩隻手,也就等於說,邱吉爾沒有手。我們如果在七式,左右兩側同乘以邱吉爾的腰圍。那麼也就可以得到邱吉爾的腰圍=0 (eq.9)

那也就是說邱吉爾長得像錐狀體。那麼邱吉爾在光譜上屬於甚麼顏色呢?為了知道邱吉爾在光譜上的性質,我們在式七左右兩側同乘以邱吉爾光子波長,就會得到邱吉爾光子波長=0 (eq.10)

同樣的,我們將七式左右兩端同乘以640奈米,也就會得到640=0 (eq.11)

又將式十和式十一,合併在一起,我們就可以得到邱吉爾光子波長=640

這也意味著任何從邱吉爾身上反射出來的光,是橘光。所以,我們會看到邱吉爾是橘色的。

綜上所述,我們已經從數學上證明,邱吉爾沒有頭,長得像錐狀體,沒有兩隻腳,也沒有兩隻手。如此,很明顯的邱吉爾長得就像一顆胡蘿蔔。我們再從式七,左右兩邊各加一。就會得到2=1

邱吉爾和胡蘿蔔是兩件不同的事。因為2=1,也就意味著兩者是同一件事。所以邱吉爾是胡蘿蔔,故得證。

這證明好像不是那麼令人滿意。從式一到式十的所有證明中,哪個地方出差錯了?如果我們有零感,對零所可能造成的破壞敏銳的話,就知道從式四到式五的過程中出錯了。因為同除以a-b,也就是同除以零。除以零,讓我得到1=0這麼荒謬的結果。如果此結果為真,根據這個荒謬的結果,我們幾乎可以證明宇宙中的任何陳述,不管邱吉爾是不是胡蘿蔔,不管真的假的。除以零,或讓整個數學體制在我們面前炸裂。

零的威力,不僅可以讓巡洋艦引擎停擺;它也有可能會破壞我們整個數理邏輯系統。

四、零的反思

台灣高中教育現場對於Zero的認知,殊少審視。

如一般就教條式的認為零不能當分母。為什麼零不能當分母呢? 就說不上來。本文第三節邱吉爾是胡蘿蔔嗎主要就是想審視為什麼零無法適用某些四則運算。我們認為,零當分母會摧毀我們的邏輯數理系統。邱吉爾可以是胡蘿蔔;反之亦然。而且,據此推理,任何數字都可以沒有任何差別。在零的撞擊下,任何似乎堅不可摧的技術物都可能瞬間停擺,如本文一開始介紹的Yorktown巡洋艦停擺,數千億美金打造的。或許台灣前陣子的黑鷹號墜毀事件,恐怕也是如此( 請參閱附錄 )。

又一般認為零就是零,空無一物,亦如真空之空,或黑洞之吸納一切一般。實際上,如本文第二節所示,無限多個零加起來,就可能是任何數字,甚至是無限大了。而且真空也不是真空,其中不斷有能量聚散消長,而且能量還不小。又黑洞也並非只是吞噬吸納一切。如霍金斯的研究所示,還是有能量和粒子可溢出黑洞之外。Zero的性質有點超出我們語言所能涵蓋的。當我們執著於零空無,就會看不到萬事萬物的生成變化。如蘇東坡所說的,逝者如斯而未嘗往也;盈虛者如彼而卒莫消長也。或是如Zero悖論背後所呈現的希臘哲學Parmenides的哲學主張:萬事萬物恆常不動。我們所感受到的運動,只是無法禁得起數學證明的幻象。

台灣對零的認識,尤其受到語言限制。零的甲骨文意象是,零雨其濛,下毛毛雨的樣子。空的甲骨文意象是洞穴,或鑿出洞穴。無象徵人形跳舞的樣子。這些都不是zero。中文紀年,天干地支六十進位法,或十二生肖十二進位,也沒有zero。易經二進位,其實是1,2,1,2。而非現代的01, 01。傳統數年歲時,也是從一開始,如中華民國元年等等。

或許源於此限制,教育上的與語言工具上的不足。讓我們殊少從零開始,發展從零到一的高度創新;專注於代工或當追隨者跟在1以後的努力。

簡之,零是深淵。凝視深淵,雖令人恐懼,卻也讓我們掌握重新歸零,定位再生的可能性。

零撞擊黑鷹直昇機了嗎?

2020年元月二日,台灣空軍UH-60M黑鷹直升機撞山墜毀。目擊旁觀者表示,飛機突然失去動力下降。又從法醫相驗機組員遺體時,發現兩位駕駛的手腳都受到嚴重傷害,顯示他們直到最後一刻,都還努力操縱飛機避免撞山。

二月十五日,空軍初步失事報告出爐。報告指出:事故原因包括環境與人為的複合因素。前者是山區氣候驟變,後者則顯示飛行員「狀況警覺」(SA,situation awareness)欠佳,未注意可能出現之地障。造成當時狀況警覺不足的原因,則指向正副駕駛之間「座艙資源管理」(CRM,cockpit resource management)出現問題,未落實「一人操作飛機,另一人注意整體環境狀態」,導致未能及時對危險因素應變。

然而,此型號之黑鷹直升機,已經高度電子化。它配備非常先進的UH-60M儀器飛行。它具備軍規衛星定位與慣性導航,搭配電子地圖。也就說,就算在沒有肉眼能見度的「真天氣」之下,飛行員仍可以清楚知道所在的精確位置,以及周邊地形的高度,附近可能造成危險的地障,還會自動顯示為紅色。因此即使飛入雲中,仍然應該可以避開山頭。

又從黑盒子紀錄中,我們也覺得頗詭異。飛機飛到3740英尺,還請求飛高到4000英尺。烘爐地山附近地表最高高度為3825英尺。如果黑鷹真飛到這高度,就可避開。可是當飛機飛行員試圖拉生飛機高度時,二十秒後,飛機墜毀在海拔3551英尺的山上。期間副駕駛兩度詢問高度。似乎狐疑飛行員想拉升飛機時,飛機不升反降。

為什麼非常有經驗的飛行員,想拉升直升機時,「飛機動力正常突下沉呢?」這起事故會不會既沒有人為疏失,也不是機械故障,而是電腦程式編碼有問題,讓零就潛藏在電腦程式中。潛藏、埋伏著,等到軟體程式喚醒它,掐死了黑鷹號直升機? 是不是此軟體深淵也讓黑鷹號事故不少呢?

人有限,以有限掌握無限大,勢必有所不足。零是無限大的孿生子。以有涯隨無涯,隨零,也會像諾大的驅逐艦一樣,非常危殆。不得不謹慎。這起事故恐怕不能只懲處相關人員的行政責任,恐怕還要好好重新審視黑鷹號數以千萬計的電腦程式編碼。

黑盒子紀錄的說明

※作者許綠芽為新竹女中學生/許全義為台中一中社會科教師

參考資料:有關Yorktown巡洋艦因為零停擺的故事,請參閱Slabodkin, Gregory. “ Software glitches leave Navy Smart Ship dead in the water.” Government Computer News, 13 July 1998.

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