【柳子厚專欄】巴哈音樂中揭示秘密數學模式

巴洛克德國作曲家巴哈創作的音樂結構嚴謹，常被比喻為數學。儘管我們當中很少有人在情感上受到數學的影響，但巴哈的作品以及一般的音樂卻讓我們感動。它不僅僅是聲音；這是一條訊息。現在，借助資訊理論的工具，研究人員開始了解巴哈的音樂如何傳達這一訊息。埃莉斯·卡茨 ELISE CUTTS發表在最新一期《科學美國人》(Scientific American)的<巴哈音樂中揭示的秘密數學模式>( Secret Mathematical Patterns Revealed in Bach’s Music)指出，物理學家發現巴哈的音樂包含有助於傳達訊息的數學模式。(Physicists found that the music of Johann Sebastian Bach contains mathematical patterns that help convey information)
樂譜表示為簡單的點網絡
透過將樂譜表示為簡單的點網絡（稱為節點），透過線條連接（稱為邊），科學家量化了數百首巴哈作品所傳達的訊息。2 月 2 日發表在《物理評論研究》上的對這些音樂網絡的分析表明，巴哈的許多音樂風格，例如眾讚歌和託卡塔，在傳達信息量方面存在顯著差異，而且音樂網絡包含的結構可以使他們的訊息更容易被理解。人類聽眾能夠理解。
「我發現這個想法真的很酷，」這項新研究的主要作者、賓州大學物理學家蘇曼·庫爾卡尼 (Suman Kulkarni) 說。「我們使用物理學工具，沒有對音樂作品做出假設，只是從這個簡單的表示開始，看看它能告訴我們關於所傳達的信息。」
學習你已經知道的東西根本不是學習
研究人員使用資訊熵（數學家克勞德·香農於 1948 年提出的概念）量化了從簡單序列到糾纏網絡的所有事物的資訊內容。顧名思義，資訊熵在數學上和概念上與熱力學熵相關。它可以被認為是衡量一條訊息的令人驚訝程度的標準——「訊息」可以是任何傳達訊息的東西，從一系列數字到一段音樂。這種觀點可能感覺違反直覺，因為通俗地說，資訊通常等同於確定性。但資訊熵的關鍵見解是，學習你已經知道的東西根本不是學習。
與一個只能說一件事的人（例如電視劇《權力的遊戲》中的角色阿多，他只說「阿多」）的對話是可以預見的，但無法提供任何資訊。和皮卡丘聊天會好一點；神奇寶貝只能說出名字中的音節，但它可以重新排列它們，這與阿多不同。同樣，一首只有一個音符的音樂作品對於大腦來說相對容易「學習」，或者準確地再現為心理模型，但該作品很難傳達任何類型的信息。觀察雙頭硬幣的拋硬幣根本不會產生任何資訊。
當然，如果接收者或任何人無法準確理解該訊息，那麼將一條充滿訊息打包就沒有多大好處。當談到音樂訊息時，研究人員仍在研究我們如何了解音樂試圖告訴我們的訊息。
「有幾種不同的理論，」倫敦瑪麗女王大學的認知科學家馬庫斯·皮爾斯說，他沒有參與最近的《物理評論研究》研究。「我認為目前主要的方法是基於機率學習。」
在這個框架中，「學習」音樂意味著透過預期和驚喜的相互作用，建立我們聽到的真實聲音的準確心理表徵（研究人員稱之為模型）。我們的心理模型根據先前發生的情況來預測接下來出現給定聲音的可能性。然後，皮爾斯說，「你會發現預測是正確還是錯誤，然後你可以相應地更新你的模型。」
將 337 首巴哈作品歸結為互連節點的網絡
庫爾卡尼和她的同事是物理學家，而不是音樂家。他們希望利用資訊理論工具來搜尋音樂中的信息結構，這些結構可能與人類如何從旋律中收集意義有關。
因此，庫爾卡尼將 337 首巴哈作品歸結為互連節點的網絡，並計算了所得網絡的資訊熵。在這些網絡中，原始樂譜的每個音符都是一個節點，音符之間的每個過渡都是一邊。例如，如果一首樂曲包含 E 音符，後面跟著一起演奏的 C 和 G，則代表 E 的節點將連接到代表 C 和 G 的節點。
巴哈音樂中的音符轉換網絡比相同大小的隨機生成的網絡包含更多的信息衝擊——這是網絡節點度或連接到每個節點的邊數變化更大的結果。此外，科學家也發現了巴哈多種作曲風格的訊息結構和內容的變化。合唱團是一種用來演唱的讚美詩，它產生的網路資訊相對稀疏，但仍然比相同大小的隨機生成的網路資訊豐富。託卡塔和前奏曲是通常為風琴、羽管鍵琴和鋼琴等鍵盤樂器編寫的音樂風格，具有較高的資訊熵。
可以幫助我們有偏見的大腦「學習」音樂
研究合著者、賓夕法尼亞大學的物理學家丹尼·巴塞特說：「託卡塔作品中比合唱作品更令人驚喜的程度讓我感到特別興奮。」 「這兩種作品在我的骨子裡感覺不同，我很想看到這種區別在成分信息中體現出來。」
巴哈作品中的網路結構也可能使人類聽眾更容易準確地學習這些網路。人類並不能完美地學習網路。巴塞特說，我們有偏見。他們補充說：「我們忽略了一些本地信息，轉而看到整個系統的更大信息圖景。」 透過對我們如何建立複雜網路心理模型的這種偏見進行建模，研究人員將每個音樂網路的總資訊與人類聽眾從中收集到的資訊量進行了比較。
音樂網路包含音符轉換簇，可以幫助我們有偏見的大腦「學習」音樂——將音樂的資訊結構準確地再現為心理模型——而不犧牲太多資訊。
網絡特徵如何轉化為音樂家能夠識別的東西
「他們捕捉可學習性的特殊方式非常有趣，」劍橋大學的彼得·哈里森（Peter Harrison）說，他沒有參與這項研究。「從某種意義上說，這是非常簡化的。但它與我們現有的其他理論非常互補，而且可學習性是一件很難掌握的事情。」
這種類型的網路分析並不是巴哈所特有的——它可以適用於任何作曲家。皮爾斯表示，使用這種方法來比較不同作曲家或透過音樂史尋找資訊趨勢會很有趣。就庫爾卡尼而言，她很高興能夠分析西方音樂傳統之外的樂譜的資訊屬性。
哈里森指出，音樂不僅僅是一系列音符。節奏、音量、樂器音色——這些元素以及其他元素是音樂訊息的重要維度，但本研究中並沒有考慮這些因素。庫爾卡尼說，她有興趣將音樂的這些方面納入她的網絡中。哈里森補充道，這個過程也可以以另一種方式進行：他不是將音樂特徵歸結為網絡，而是好奇網絡特徵如何轉化為音樂家能夠識別的東西。
如何欣賞不同類型音樂的認知過程的新問題
「音樂家會說，『推動這現象的實際音樂規則或音樂特徵是什麼？我可以用鋼琴聽嗎？」哈里森說。
最後，皮爾斯說，目前還不清楚新研究中確定的網路模式到底如何轉化為聆聽巴哈作品或任何音樂的生活體驗。他繼續說，解決這個問題將是音樂心理學的問題。實驗可以揭示「實際上，人們是否可以感知這些事物，以及它們對人們聽音樂時的愉悅感有何影響。」 同樣，哈里森表示，他對實驗感興趣，以測試研究人員在本研究中建模的網路學習錯誤類型是否對於人們學習音樂的方式實際上很重要。
「人類對複雜資訊系統的這種不完美、有偏見的認知對於理解我們如何參與音樂至關重要，」巴塞特說。「理解巴哈作品的信息複雜性提出了關於我們如何欣賞不同類型音樂的認知過程的新問題。」